本文不是关于随机过程的完整介绍. 但如果你学到滤子(Filtration)而不知道它是干什么用的, 就接着往下读.
概率空间 中, 是底层样本空间. 是其事件域. 的细分程度则决定了我们在该概率空间中描述可观测事件的粒度. 从 所导出的最细粒度的原子事件出发, 我们可以利用 对补和可列并的封闭性生成出完整的 .
例如, 考虑丢骰子. 底层样本空间为 , 而 可以是 , 这描述了丢骰子结果的奇偶性. 在这样的一个(故意选取的) 的定义下, 不可能描述更细的事件, 尽管我们实际上知道这些事件都是由多个底层样本合成的.
随机过程则是一个函数 , 将 和 映射到 . 固定住, 则 在指标集 上给出一条轨迹.
不妨仍然使用丢骰子的例子, 但这次投掷次. 则底层样本空间不妨设置为, 最细粒度的 就是 . 给定 时, 就给定了全部次的投掷结果.
在我们投掷完第次时, 得到的结果 自然是一个随机变量. 然而, 此时 真的适合作为第 次投掷的事件域吗?
答案是否定的. 的粒度过细, 在投掷完第次时, 我们尚未知道未来所有投掷的结果. 此时可以讨论的任何事件, 都必定由一组 合并而成. 这些 给出的前 次投掷结果相同, 而之后才分岔为不同的轨迹.
为此, 我们需要给各找到它们各自的事件域 , 阻止我们在次投掷时就描述了需要有未来的信息才能描述的事件.
依次加细, 即 . 中多出来的元素, 就是在 中所不能描述的事件.